二项式定理

二项式定理

二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于冲稿1664年、1665年期间提出。该定理给出两个数之和的数次幂的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定理。二项式定理论述了(a＋b)n的展开式。人们只要有初步的代数知识和足够的毅力，便可以得到如下公式， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 (a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 等等。对于(a＋b)12，人们显然希望不必经由(a＋b)十几次自乘的冗长计算，就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久，人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密，但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。散返孝但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 等等 在这个三角形中，每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此，根据帕斯卡三角，下一行的数值为 1 8 28 56 70 56 28 8 1 例如，表值56就等于其上左右两个数字21＋35之和。 帕斯卡三角与（a＋b）8展开式之间的联系是非常直接的，因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数，即 （a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3 ＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8 我们只要将三角形的数值再向下延伸几行，就可以得到（a＋b）12展开式中a7b5的系数为792。所以，帕斯卡三角的实用性是非常明显的。 年轻的牛顿经过对二项展开式的研究，发明了一个能够直接导出二项式系数的公式，而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且，他对模式的持续性的固有信念使他认为，能够正确推导出诸如(a＋b)2或(a＋b)3 这种形式的二项式。 关于分数指数和负数指数问题，在此还需多说一句。我们知道，在初等 这些关系。 以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交）。牛顿写道： 项式的“指数是整数还是（比如说）分数，是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。 对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说，牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下，就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看， 出 也许，这种形式看起来就比较熟悉了。 我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如，在展开(1＋x)3时， 这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且，由于我们的原指数是正整数3，所以，展开式到第四项结束。 但是，当指数是负数时，又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如，展开(1＋x)－3，根据牛顿公式，我们得到 或简化为 方程右边永远没有终止。应用负指数定义，这一方程就成为 或其等价方程 牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实 （1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1 牛顿用等式右边的无穷级数自乘，也就是求这无穷级数的平方，以检验这一貌似奇特的公式，其结果如下： 所以 这就证实了 与牛顿原推导结果相同。 牛顿写道；“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如，假设我们求 现在，将等式右边的平方根代入前面标有（）符号的二项展开式中的前6项，当然，此处要用29替换原公式中的x，因而，我 了前6个常世消数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到更加精确的近似值。并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，等等， 续演算。 别奇怪的。而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。 二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。但是，对逆流数的详尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。 牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如，我们知道，艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文，他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分，他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。 设任意曲线AD的底边为AB，其垂直纵边为BD，设AB＝x， BD＝y，并设a、b、c等为已知量，m和n为整数。则： 到x点之内的图形的面积。根据牛顿法则，这一图形的面积为 按照牛顿公式，面积为12x2，对这一结果，可以很容易地用三角形面积公式 牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2，“如果y值是由几项之和组成的，那么，其面积也同样等于每一项面积之和。”例如，他写道，曲 那么，牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具，可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题，而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具，使一个古老的问题获得了全新的生命：计算π的近似值。我们在第四章的后记中，追溯了这一著名数字的某些历史，确认了某些学者，如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右，这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法，对这一古老问题进行研究，并取得了辉煌的成就。